B2 - La pressione e l'equilibrio dei fluidi

3.2 B2 - La pressione e l'equilibrio dei fluidi

3.2.1 La pressione

Concetto di pressione

L'orso conosce bene la differenza tra peso e pressione!

Se provassimo a colpire un muro con un martello, al massimo riusciremmo a scalfirlo. Se, invece, proviamo ad applicare la stessa forza a un chiodo, posto tra il martello e il muro, essa si distribuirà su una superficie molto più piccola, quella della punta del chiodo, che riuscirà a penetrare nel muro. Ciò si verifica perché gli effetti di una forza dipendono non soltanto dalla sua intensità, ma anche dalla superficie attraverso la quale tale forza si trasmette: quanto più piccola è la superficie su cui una forza viene applicata, tanto più grande sarà il suo effetto.

Per tale ragione, oltre alla forza, è opportuno definire un'altra grandezza fisica, chiamata pressione, che dipende sia dall'intensità della forza applicata, sia dalla superficie su cui essa agisce. Osserviamo tuttavia che, per valutare la pressione esercitata da una forza $vec F$ su una superficie, bisogna considerare la componente $vec F_perp$ della forza nella direzione $r$ perpendicolare alla superficie. Solo questa componente, infatti, è efficace. Se tale componente coincide con $vec F$ , la pressione prodotta è massima (Fig a). Diversamente, la componente $vec F_perp$ che ha intensità minore di $F$, produce una pressione intermedia (Fig. b). Nel caso in cui la componente di $vec F$ lungo la direzione $r$ è nulla, la pressione prodotta è nulla (Fig. c).

Per definire la pressione, consideriamo una forza $vec F$ applicata a una superficie di area $S$. La forza efficace che agisce sulla superficie $S$ è la componente $vec F_perp$ della forza perpendicolare alla superficie.

Definizione 3.14 [Pressione]

La pressione $P$ è una grandezza scalare definita come il rapporto tra la componente $vec F_perp$ della forza perpendicolare alla superficie sulla quale agisce e l'area $S$ della superficie stessa.

$P = F_perp /S$

La pressione, dunque, è una grandezza direttamente proporzionale alla forza applicata e inversamente proporzionale alla superficie su cui tale forza agisce. L'unità di misura della pressione nel SI è il pascal (Pa), che corrisponde alla pressione esercitata dalla forza di 1 N perpendicolarmente alla superficie di 1 m²

$1 uuPa = (1 uuN)/(1 uum^2)$

Se si conosce il valore della pressione $P$ esercitata su una superficie di area $S$ e si vuole ricavare l'intensità della forza $F_perp$ bisogna applicare la formula inversa

$F_perp = PS$

Esempio 3.6 Calcoliamo la pressione esercitata da una scatola, con un peso corrispondente a $F = 10\, uuN$ e con base $S = 0.2\, uum^2$, sul suo piano di appoggio.

$P=F/S = (10\, uuN)/(0.2\, uum^2) = 50\, uuPa$

Prima di continuare

La pressione è una grandezza ...................... definita come il ...................... tra la ...................... della forza ...................... alla superficie ...................... sulla quale agisce e l' ...................... della superficie.
Per calcolare la pressione esercitata da una forza $vec F$ che agisce perpendicolarmente a una superficie di area $S$ si applica la formula ......................
L'unità di misura della pressione nel SI è il ...................... che corrisponde alla pressione esercitata dalla ...................... di ...................... applicata a una superficie di ......................
Il libro che hai in mano può essere appoggiato sul tavolo in orizzontale o in verticale. In quale caso la pressione esercitata è maggiore: quando è appoggiato in orizzontale o in verticale?
. Un tavolo ha massa $50\, uukg$ e su di esso vi è un oggetto di massa $70\, uukg$. Poiché ciascun piede del tavolo occupa una superficie di $1\, uudm^2$ , a quale pressione è sottoposto il pavimento?
Calcola la pressione esercitata sul pavimento da un ragazzo avente massa di $55\, uukg$ che è appoggiato su una superficie di $180\, uucm^2$.
Su una superficie di $2\,, uum^2$ si esercita una pressione pari a $200\, uuPa$. Calcola la forza $F_perp$ applicata alla superficie.

3.2.2 La pressione idrostatica

Il principio di Pascal

Definizione 3.15 [Principio di Pascal]

La pressione esercitata su una superficie di un fluido si trasmette in tutte le direzioni e con la stessa intensità su ogni altra superficie che si trova a contatto con il fluido.

Torchio idraulico

La pressione di un liquido in un contenitore dipende soltanto dalla sua profondità, per cui a livelli uguali corrispondono uguali pressioni.

Vasi comunicanti

Legge di stevino

Definizione 3.16 [Legge di Stevino] La pressione $P$ esercitata da un liquido a una profondità $h$ è direttamente proporzionale sia alla profondità $h$ sia alla densità $d$ del liquido.

$P = d g h$

Sulla Terra $g=9.8\, uuN//uukg$. Osserviamo che la pressione calcolata con la formula precedente è chiamata pressione idrostatica. Essa rappresenta la pressione esercitata soltanto dal liquido. Se sulla superficie libera del liquido grava una pressione esterna $P_"est"$, per esempio la pressione atmosferica, quest'ultima va sommata alla pressione idrostatica per ottenere il valore della pressione totale $P_"tot"$ all'interno del liquido. In altri termini, a una profondità $h$, la pressione totale è

$P_"tot" = P_"est" + dgh$

Esempio 3.7 Calcoliamo la pressione che una colonna d'acqua alta 2 m esercita sulla sua base.

Poiché la densità dell'acqua è $d = 1000\, uukg//uum^3$ , applicando la legge di Stevino otteniamo:

$P = h d g = 2\, uum * 1000\, uukg//uum^3 * 9.8\, uuN//uukg = 19 600\, uuN//uum^2$

Esercizio 3.4 Calcola la pressione esercitata sulla sua base da una colonna di mercurio alta §50 uucm§ (la densità del mercurio è §13 600 uukg/uum^3§ ).

Prima di continuare

Il principio di Pascal afferma che la pressione esercitata su una .......................... di un fluido si ..........................
Il torchio idraulico è in grado di equilibrare una forza ..................... applicandone una ......................
La pressione di un liquido in un contenitore dipende soltanto dalla sua ...................................
Secondo la legge di Stevino la pressione in un liquido è ....................................... proporzionale alla ........................ e alla ................................. del liquido.
Il rapporto tra le due sezioni di un torchio idraulico è pari a §10§. Calcola l'intensità della forza che si trasmette alla sezione maggiore quando sulla sezione più piccola è applicata una forza di §12 uuN§.
A quale pressione sono sottoposti i pesci che vivono a una profondità di §400 m§ sotto il livello del mare, dal momento che la densità dell'acqua è di §1000 uukg/uum^3§ ?

3.2.3 Il principio di Archimede

Il principio di Archimede

Definizione 3.17 [Principio di Archimede]

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto uguale al peso del liquido da esso spostato.

Spinta = densità del liquido volume spostato 9.8

Il peso misurato quando il corpo è immerso nel liquido, che corrisponde alla differenza tra il peso del corpo e la spinta di Archimede, viene detto peso apparente del corpo:

peso apparente = peso del corpo - spinta

Esempio 3.8 Un corpo con un volume di §0.1 uum^3§ viene immerso completamente in acqua. Calcoliamo la spinta di Archimede §S§ esercitata dal liquido.

Applicando la formula otteniamo:

§S = d_{acqua} V 9.8 = 1000 uukg/uum^3 * 0,1 uum^3 * 9.8 uuN/uukg = 980 uuN§

Esercizio 3.5 Un corpo con un volume di §0.1 m^3§ e un peso di §1500 uukg§ viene immerso completamente in acqua. Calcola il peso apparente del corpo (peso - spinta di Archimede).

In generale, un corpo galleggia quando la sua densità è inferiore a quella del liquido nel quale è immerso. Pertanto, una nave riesce a galleggiare, anche se è d'acciaio (che è un materiale più denso dell'acqua), perché non è un blocco compatto, ma cavo, quindi la sua densità media risulta inferiore a quella dell'acqua.

Prima di continuare

Un corpo immerso in un liquido riceve una .................. verso l' ............... uguale al .................... del ..................... spostato.
Un corpo affonda nell'acqua quando la sua ........................ ................................ è .......................................... di quella dell'acqua.
Un corpo solido galleggia sull'acqua quando la sua ........................ è .................. di quella dell'acqua.
Perché un corpo immerso in un liquido sembra avere un peso inferiore di quello vero?
Che cos'è la spinta di Archimede?
Un corpo ha un volume di §3 uudm^3§ . Quanto vale la spinta che riceve quando viene immerso in acqua?

3.2.4 La pressione atmosferica

La pressione atmosferica

La Terra è circondata da un'enorme massa gassosa, l'atmosfera, che è spessa oltre 100 km. La pressione che l'atmosfera esercita sulla Terra varia da un giorno all'altro con il mutare delle condizioni meteorologiche. Il valore della pressione atmosferica può essere misurato con un significativo esperimento, eseguito per la prima volta da Evangelista Torricelli nel XVII secolo.

Il dispositivo ideato da Torricelli è chiamato barometro a mercurio ed è costituito da un tubo di vetro della lunghezza di un metro chiuso a un'estremità, che viene riempito completamente di mercurio.

L'estremità aperta del tubo, tenuta chiusa con un dito, viene immersa in una vaschetta contenente a sua volta mercurio. Togliendo il dito, il mercurio non scende completamente, ma si ferma a un'altezza di 760 uumm al di sopra del livello del liquido contenuto nella vaschetta.

Esperimento di tipo torricelliano. Gaspar Schott, Technica curiosa, sive, Mirabilia artis, Würzburg 1664

Nello spazio rimasto sulla sommità del tubo si è creato il vuoto (assenza di aria e quindi di pressione). Pertanto, si instaura un equilibrio tra la pressione esercitata dalla colonna di mercurio sul livello del liquido della vaschetta e la pressione atmosferica che agisce sul liquido nella vaschetta ma che si trasmette, per il principio di Pascal, fino alla base del tubo.

Per misurare la pressione atmosferica basta allora calcolare la pressione idrostatica della colonna di mercurio alta §760 uumm§. Sapendo che la densità del mercurio è pari a §13600 uukg/uum^3§, applicando la legge di Stevino possiamo trovare il valore della pressione atmosferica.

$P_a = h d g = 0.76\, uum * 13600 \, uukg/uum^3 * 9.8\, uuN/uukg = 101209 \, [uuN/uum^2 = uuPa]$

Il valore della pressione atmosferica è stato utilizzato per introdurre una unità di misura della pressione, denominata appunto atmosfera (atm). Poiché però la pressione atmosferica varia in funzione delle condizioni meteorologiche, si è stabilito che l'atmosfera standard è la pressione corrispondente a §760 uumm§ di mercurio alla temperatura di §0 deguuC§ e a livello del mare.

Quindi la pressione atmosferica è §760 uummHg = 760 uutorr = 1.013 uubar = 1 uuatm$ In onore di Torricelli i millimetri di Mercurio sono chiamati §uutorr§.

La pressione in meteorologia

Si è più volte detto che le condizioni meteorologiche sono strettamente collegate con la pressione atmosferica e dai suoi valori si possono fare previsioni sull'andamento del tempo. Dalle mappe, che di solito ci presentano i meteorologi anche in televisione, è possibile vedere delle linee più o meno circolari, chiamate isobare, ottenute dall'unione di tutti i punti corrispondenti ai luoghi che hanno la stessa pressione atmosferica.

In genere, i meteorologi chiamano anticiclone una zona di alte pressioni, che può essere calda o fredda. Da essa l'aria fluisce verso il basso e, diventando più calda, può contenere una maggior quantità di vapor acqueo e disperdere le nuvole. Pertanto, una zona di alte pressioni (zona anticiclonica) corrisponde a condizioni di bel tempo. Viceversa, a una zona di bassa pressione fa seguito l'ingresso di aria umida dal basso che, raffreddandosi, provoca la formazione di nuvole e di pioggia.

Le isobare segnate sulla mappa indicano la presenza di una zona di alta pressione, calda, sulla Gran Bretagna, dovuta a un anticiclone estivo.

Prima di continuare.

Per misurare la pressione atmosferica si può usare il barometro di ........................................
L'atmosfera standard corrisponde alla pressione di ......................... §uutorr§ o di circa §100 000§ .............................
La pressione atmosferica diminuisce al .......................... dell' ............................... rispetto al livello del mare.
Che cos'è la pressione atmosferica?
Illustra il funzionamento del barometro di Torricelli.
Quali sono le unità di misura usate per la pressione atmosferica?
Esprimi in atm la pressione di §700 uummHg§.
Esprimi in §Pa§ la pressione di §2 uuatm§.
Quale dovrebbe essere l'altezza di una colonna d'acqua che produce sulla sua base una pressione di §1 uuatm§?
Calcola l'intensità della forza che la pressione atmosferica standard esercita su un tavolo di §2 m^2§ di superficie.

3.2.5 La misura della pressione

Manometri

Per misurare la pressione dei fluidi si usano i manometri. Questi strumenti di misura sono differenziali, nel senso che permettono di ottenere la misura della differenza di pressione fra due ambienti, di cui uno è solitamente l'atmosfera. In figura è rappresentato il manometro a liquido a tubo aperto.

Esso è costituito da un tubo di vetro a forma di §U§, all'interno del quale si trova una certa quantità di mercurio. Come illustrato in figura, uno dei due rami del manometro è in comunicazione con l'ambiente contenente il fluido X di cui si vuole misurare la pressione §P_x§, l'altro è sottoposto alla pressione atmosferica §P_atm§.

Secondo le leggi che regolano l'equilibrio dei fluidi, il dislivello §Delta h§ che si viene a stabilire tra il menisco di destra e quello di sinistra del mercurio risulta proporzionale alla differenza tra le pressioni agenti sui due rami del manometro. Applicando la legge di Stevino al liquido manometrico, si può facilmente mostrare che:

$P_x = P_"atm"+Delta h *d*g$

dove §d§ rappresenta la densità del mercurio, il cui valore a §20 deguuC§ è §13 600 uukg/uum^3§ .

Esempio 3.9 Il dislivello $Delta h$ tra i due rami di un manometro a mercurio è di §0.5 uum§. Quanto vale la differenza di pressione tra i due rami del manometro?

Applicando la formula precedente e sostituendo i rispettivi valori, otteniamo:

$P_"atm" -- P_x = h d g = 0.5\, uum * 13 600\, uukg/uum^3 * 9.8\, uuN/uukg = 66 640\, uuPa$

Esercizio 3.6 Il dislivello tra i due rami di un manometro a mercurio è di §0.7 uum§. Calcola la pressione incognita del fluido §P_x§ utilizzando per la pressione atmosferica il valore di §10^5 uuPa$.

Prima di continuare

Qual è il funzionamento del manometro a tubo aperto?
Perché il manometro a tubo aperto è uno strumento differenziale?
Vi sono altri tipi di manometro? Come funzionano?
Il dislivello tra i due rami di un manometro a tubo aperto è di §50 uucm§. Qual è il valore della differenza di pressione misurata dal manometro?
Il dislivello tra i due rami di un manometro a tubo aperto è di §30 uucm§, quando la pressione atmosferica è §P_atm = 10^5 uuPa§. Calcola il valore della pressione §P_x§ misurata dal manometro.
La differenza di pressione §P_atm -- P_x§ misurata da un manometro è pari a §10^4 uuPa§. Quanto misura il dislivello §Delta h§ tra i due rami del manometro?

3.2.6 Prima di continuare

Domande e risposte

Domanda 3.8 Che cos'è la pressione?

Risposta⁸

Domanda 3.9 Che cosa afferma il principio di Pascal?

Risposta⁹

Domanda 3.10 Che cosa afferma la legge di Stevino?

Risposta¹⁰

Domanda 3.11 Che cosa afferma il principio di Archimede?

Risposta¹¹

Domanda 3.12 Che cos'è la pressione atmosferica e in che modo può essere misurata?

Risposta¹²

Domanda 3.13 Come si misura la pressione di un fluido?

Risposta¹³

Parole chiave

a. pressione	1. strumento che permette di misurare la pressione di un fluido
b. pascal	2. quantifica la forza esercitata su un'unità di superficie
c. principio di Pascal	3. i liquidi e i gas
d. pressione idrostatica	4. consente di misurare la pressione atmosferica
e. principio di Archimede	5. la pressione esercitata da un liquido e regolata dalla legge di Stevino
f. spinta idrostatica	6. unità di misura della pressione nel SI
g. barometro	7. la forza che un liquido esercita su un corpo immerso in esso
h. manometro	8. permette di calcolare la spinta idrostatica
i. fluidi	9. descrive il comportamento della pressione in un liquido compresso