Cap. 57   Vettori

1. Operazioni con i vettori
   1. Definizioni
   2. Somma di due vettori
   3. Differenza di due vettori
   4. Moltiplicazione di un vettore per un numero reale
   5. Spazi vettoriali
   6. Scomposizione di un vettore
   7. Vettori linearmente indipendenti - Basi
2. Operazioni espresse mediante le coordinate
   1. Vettori nello spazio
   2. Vettori nel piano
   3. Somma di due vettori
   4. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
   5. Vettori complanari - Vettori paralleli
   6. Forma polare
3. Prodotto scalare
   1. Prodotto scalare
   2. Proprietà del prodotto scalare
   3. Espressione cartesiana del prodotto scalare
   4. Modulo di un vettore
   5. Proiezione di un vettore lungo un altro vettore
4. Prodotto vettoriale
   1. Prodotto vettoriale
   2. Proprietà del prodotto vettoriale
   3. Espressione cartesiana del prodotto vettoriale
   4. Proiezione di un vettore su un piano
   5. Prodotto misto
   6. Volume di un parallelepipedo
   7. Volume del tetraedro
5. Esercizi di fine capitolo

1

Due vettori linearmente dipendenti sono necessariamente paralleli e quindi deve essere costante il rapporto tra le componenti.
$(3a)/(a+4)=-5/2 => a=-20/11$

2

I tre vettori sono complanari se:
$ |[1, a , 0],[3 , -4 , -a],[1 , 1 , -2a]|=0$ $=>$ $5a^2+9a=0$ $=> a=0 vv a=-9/5$

3

Il prodotto scalare è
$s= 1*0+2*3+5*(-2)=-4$.
$|vec{u}|=sqrt(1^2+2^2+5^2)=sqrt(30)$
$|vec{v}|=sqrt(0^2+3^2+(-2)^2)=sqrt(13)$.
$cos(alpha)=-4/(sqrt(30)*sqrt(13))$ $=-4/sqrt(390)$ $=>$ $alpha=arccos(-4/sqrt(390))$ $=101.69 deg$

4

I vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo. Il prodotto scalare è
$2(-3k+3)+(3k-1)(-6)$ $=-24k+12$.
Imponiamo che esso sia uguale a zero.
$-24k+12=0=>k=1/2$.
Per questo valore di $k$ si ha $vec{u}=(2,1/2)$ e $vec{v}=(3/2,-6)$

5

Calcoliamo il prodotto scalare $s$ e i moduli dei due vettori.
$s=u_x v_x+u_y v_y=k+6$.
$|vec{u}|=sqrt(10)$, $|vec{v}|=sqrt(k^2+4)$.
Poichè $s=|vec{u}||vec{v}|cos(alpha)$ si ha:
$sqrt(10)*sqrt(k^2+4)*cos(pi/3)=k+6$ $=> sqrt(10k^2+40)=2k+12=>k$ $=4pm10/3sqrt(3)$

6

Calcoliamo il prodotto scalare $s$ e i moduli dei due vettori.
$s=u_x v_x+u_y v_y=k-2$.
$|vec{v}|=sqrt(5)$, $|vec{u}|=sqrt(k^2+1)$.
Poichè $s=|vec{v}||vec{u}|cos(alpha)$ si ha:
$sqrt(5)*sqrt(k^2+1)*cos(pi/3)=k-2 $ $=> sqrt(5k^2+5)$ $=2k-4=>k$ $=-8pm5sqrt(3)$.
Affinché l'equazione irrazionale in $k$ abbia soluzioni deve essere $k>2$.
Poiché i due valori trovati sono minori di $2$, il problema proposto è impossibile.

7

La proiezione $p_(vec{v})(vec{u})=(vec{u}*vec{v})/|vec{v}|^2vec{v}$.
$vec{u}*vec{v}=50$, $|vec{v}|^2=40$.
$p(vec{u})_(vec{v})=50/40*(2,6)=(5/2,15/2)$

8

Il prodotto verroriale essendo perpendicolare al piano individuato dai due vettori è perpendicolare a entrambi.
$vec{u}xxvec{v}=(-27,9,6)$

9

Determiniamo il vettore $vec{n}$ perpendicolare al piano $alpha$ individuato dai due vettori $vec{n}=vec{v}xxvec{w}=(5,2,2)$. Determiniamo la proiezione $vec{u}_n$ di $vec{u}$ su $vec{n}$.
$vec{u}_n=(vec{u}*vec{n})/|vec{n}|^2vec{n}=11/33(5,2,2)=1/3(5,2,2)=(5/3,2/3,2/3)$. La proiezione $vec{u}_alpha=vec{u}-vec{u}_n=(-2/3,4/3,1/3)$

10

Le componenti di $vec{t}$ rispetto alla base ${vec{u},vec{v},vec{w}}$ sono i numeri $a$, $b$ e $c$ tali che
$vec{t}=avec{u}+bvec{v}+cvec{w}$, cioè le soluzioni del sistema:
${[-a+b+2c=5],[2a+b+c=-3],[a-3b-4c=2] :} $
da cui si ottiene $a=1/4$, $b=-49/4$ e $c=35/4$.
Il vettore $vec{t}=1/4vec{u}-49/4vec{v}+35/4vec{w}$