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21.3   Sistemi simmetrici

Definizione 21.1  
Un sistema è simmetrico se rimane invariato scambiando le incognite.

Un sistema di secondo grado simmetrico, se determinato, ha due soluzioni simmetriche, cioè se una soluzione è $(a,b)$, l'altra è $(b,a)$.

Esempio 21.5   Discutere il seguente sistema simmetrico al variare dei parametri



${[x+y=h],[xy=k]:}$

Per risolvere il sistema possiamo applicare il metodo di sostituzione che porta all'equazione di secondo grado $x^2-hx+k=0$ il cui discriminante è $Delta=h^2-4k$. Al variare dei parametri si ha:
- se $Delta=0$, il sistema ha due soluzioni coincidenti
- se $Delta>0$, il sistema ha due soluzioni distinte
- se $Delta<0 or k!=0$, il sistema non ha soluzioni reali


Esempio 21.6   Discutere il seguente sistema simmetrico al variare dei parametri



${[x+y=h],[x^2+y^2=k]:}$

Per risolvere il sistema possiamo applicare il metodo di sostituzione che porta all'equazione di secondo grado $2x^2-2hx+h^2-k=0$ il cui discriminante è $Delta=8k-4h^2$. Al variare dei parametri si ha:
- se $Delta=0$, il sistema ha due soluzioni coincidenti
- se $Delta>0$, il sistema ha due soluzioni distinte
- se $Delta<0$, il sistema non ha soluzioni reali


Esempio 21.7   Risolvere il sistema simmetrico ${[x^2+y^2=5],[x+y=1]:}$

Soluzione Per risolvere il sistema possiamo applicare il metodo si sostituzione, oppure cercare di trasformare il sistema in un altro equivalente del tipo:


${[xy=k],[x+y=h]:}$.

Poiché $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$, sostituendo $x+y$ con $1$ e $x^2+y^2$ con $5$ si ha:


$5=1-2xy$, da cui segue $ xy=-2$.

Il sistema dato si può allora scrivere nel seguente modo:


${[xy=-2],[x+y=1]:}$.

Le coppie di numeri la cui somma è $1$ e il cui prodotto è $-2$ sono le soluzioni dell'equazione $t^2-t-2=0$, ossia $t=-1vv t=2$.
Le soluzioni del sistema sono pertanto $(-1,2) $ $ (2,-1)$.



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