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4.3   Numeri limitati e numeri illimitati periodici

4.3.1   Trasformare una frazione in numero decimale

Poiché la frazione esprime il quoziente esatto tra due numeri interi, per trasformare una frazione in numero decimale basta dividere il numeratore per il denominatore.

Si possono presentare due casi:

  1. Il risultato è un numero decimale finito (per esempio $9/4=2.25$)

  2. Il risultato è un numero decimale illimitato e periodico

    $5/3=1.66\ldots $ la cifra $6$ si ripete all'infinito

    $3803/1100=3.457272\ldots $ le cifre $7$ e $2$  si ripetono all'infinito
Il gruppo di cifre che si ripete all'infinito si dice periodo; nel primo esempio il periodo è $6$, nel secondo è $72$. Nel secondo esempio ci sono due cifre decimali non periodiche $45$, esse costituiscono l'antiperiodo. Per indicare il periodo, oltre all'uso di $...$ si usa racchiudere le sue cifre in una parentesi tonda:

$3.457272\ldots =3.45(72)$

I numeri periodici che presentano un antiperiodo si dicono periodici misti, altrimenti periodici semplici.
Ogni frazione decimale, cioè ogni frazione che ha per denominatore una potenza di 10, si può trasformare in numero decimale finito, es. $3/10=0.3$ e $153/100=1.53$.
Le frazioni che, ridotte ai minimi termini, presentano come fattori del denominatore o $2$ o $5$ o entrambi si possono trasformare in frazioni decimali equivalenti e quindi, per quanto detto sopra, danno origine a numeri decimali finiti.

Esempio 4.17   $\frac{3}{20}=\frac{3}{2^{2}\times 5}=\frac{3\times 5}{2^{2}\times 5\times 5}=\frac{15}{100}$

Esempio 4.18   $\frac{11}{125}=\frac{11}{5^{3}}=\frac{11\times 2^{3}}{5^{3}\times 2^{3}}=\frac{88}{100}$

Se una frazione $a/b$ non si può trasformare in frazione decimale, essa necessariamente dà origine ad un numero decimale periodico. Infatti per ottenere questo numero bisogna dividere $a$ per $b$. I possibili resti della divisione variano da $1$ a $b-1$ ($0$ è escluso perché altrimenti si avrebbe un numero decimale finito); poiché la divisione non ha termine, da un certo punto in poi i resti devono necessariamente ripetersi con periodicià e, con i resti, si ripetono le cifre del quoziente.

Esempio 4.19   Osserva la seguente divisione

$25/22=1.1(36)$

Conclusione 4.2  
Ogni frazione può essere trasformata in numero decimale finito oppure decimale periodico.

4.3.2   Trasformazione di un numero decimale in frazione

Vediamo ora che ogni numero decimale finito o periodico può essere scritto sotto forma di frazione. Per quanto riguarda i numeri decimali finiti la trasformazione è immediata.

Esempio 4.20   $12.35 = 1235/100 = 247/20$

Esempio 4.21   $0.004 = 4/1000 = 1/1250$

Per trasformare in frazione un numero decimale periodico sipuò usare la seguente regola:

Un numero periodico si può trasformare in una frazione avente:

Esempio 4.22   $12.(62)= (1262-12)/99 = 1250/99$

Esempio 4.23   $8.54(632) = (854632-854)/99900 = 426889/49950$

Nei seguenti esempi cerchiamo di dare una giustificazione alla regola precedente.

Esempio 4.24   Trasformare in frazione il numero $x=12.626262...$

$x$ $=$ $12.626262...$ Il periodo ha 2 cifre quindi moltiplichiamo per $10^{2}$
$100x$ $=$ $1262.6262...$ Sottraiamo membro a membro
$100x-x$ $=$ $1250 quad -> quad x=1250/99$

Esempio 4.25   Trasformare in frazione il numero x=8.54632632...

$x$ $=$ $8.54632632...$ L'antiperiodo ha 2 cifre quindi moltiplichiamo per $10^2$
$100x$ $=$ $854.632632...$ Il periodo ha 3 cifre quindi moltiplichiamo per $10^3$
$100000x$ $=$ $854632.632632...$ Sottraiamo membro a membro le ultime due
$100000x-100x$ $=$ $853778 quad -> quad 426889/49950$

Poiché ogni frazione con termini interi può essere trasformata in numero decimale finito o periodico e viceversa ogni numero decimale finito o periodico può scriversi come frazione, possiamo dire che l'insieme dei numeri razionali può essere considerato come l'insieme dei numeri decimali finiti o periodici.

Esempio 4.26   E' interessante osservare che ogni numero decimale finito può essere messo in forma non finita, banalmente aggiungendo infinite cifre uguali a zero, oppure come illustrato di seguito.

$1/3=0.3333\ldots $, ora moltiplichiamo per $3$ entrambi i membri ed otteniamo $3\times 1/3=0.9999\ldots $ ed infine $1=0.9999\ldots $
Otteniamo cosí l'uguaglianza tra il numero decimale finito $1$ e il numero decimale periodico $0.9999\ldots $
Analogamente si può dimostrare che: $0.1=0.09999\ldots $, $0.01=0.009999\ldots $ ecc.

Esempio 4.27   $6.82=6.81+0.01=6.81+0.009999\ldots =6.819999\ldots $

Osservazione 4.2  
Da quanto detto possiamo dedurre che un numero decimale con periodo $9$ è sempre uguale ad un numero intero o ad un numero decimale finito

4.3.3   Valori approssimati di un numero razionale periodico

Esempio 4.28   Nella seguente simulazione sono rappresentate le approsimazioni per difetto e per eccesso con n (n<15) cifre decimali di un numero periodico.


Le approssimazioni del numero periodico al variare di n individuano due successioni di numeri decimali finiti che hanno le seguenti caratteristiche:

  1. ogni numero della prima successione è minore di ogni numero della seconda

  2. all'aumentare delle cifre decimali la differenza fra i corrispondenti valori approssimati per eccesso e per difetto tende a diventare sempre più piccola, tende cioè a zero.
Successioni cosí fatte formano una coppia di classi contigue. Il numero razionale periodico considerato è detto elemento separatore delle due successioni, in quanto è maggiore di ogni numero della prima successione e minore di ogni numero della seconda.


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