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4.1   I numeri razionali assoluti

4.1.1   Introduzione

Abbiamo visto che i numeri naturali §NN§ presentano due grossi incovenienti. Il primo è che non si possono sempre fare le sottrazioni perché il numero più piccolo è zero. Il secondo è che non sempre si possono fare le divisioni perché l'insieme è discreto, questo significa che, ad esempio, esiste il numero $1$ e il numero $2$, ma non esiste nessun altro numero tra $1$ e $2$. Se stiamo contando i piani di una casa questo non è un problema perché tra il primo e il secondo piano naturalmente non c'è nessun altro piano. Se invece stiamo misurando la statura di una persona il problema c'è ed è grande, infatti non tutte le persone sono alte o 1 metro o 2 metri, anzi quasi tutte avranno un'altezza compresa tra questi due valori ma, con i soli numeri naturali, non riusciamo né a misurarla né a scriverla.

Provvederemo ad eliminare questi inconvenienti riempendo quasi completamente il salto tra il numero 1 e il numero 2 (tra il 2 e il 3, ecc.) inserendoci i numeri razionali. In questo modo otterremo l'insieme dei numeri razionali §QQ§ che sarà denso ma non ancora continuo.


Infine riempiremo completamente il salto inserendoci anche i numeri irrazionali, ed avremo cosí ottenuto un nuovo insieme numerico continuo che chiameremo insieme dei numeri reali §RR§ .


4.1.2   Frazioni e numeri decimali

Frazioni e numeri decimali esprimono in maniera diversa, ma del tutto equivalente, il risultato esatto di divisioni impossibili nell'insieme §NN§. Troviamo l'uso delle frazioni già presso i Babilonesi e gli Egiziani e, molti secoli dopo (intorno alla fine del 1500), quello dei numeri decimali. Per indicare il quoziente esatto della divisione tra due numeri naturali $a$ e $b!=0$, usiamo il simbolo di frazione $a/b$. Ricordiamo che a si chiama numeratore e b denominatore. Poiché la frazione indica il quoziente esatto tra il numeratore e il denominatore, per la proprietà invariantiva della divisione, tale quoziente non cambia moltiplicando o dividendo i termini della frazione per uno stesso numero diverso da zero. Due frazioni sono equivalenti se si ottengono l'una dall'altra moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per un stesso numero naturale diverso da zero.

Le frazioni equivalenti ad una data frazione sono infinite.

Classe di frazioni equivalenti a $2/3={2/3,4/6,6/9,8/12,ldots }$

Ogni frazione della stessa classe indica lo stesso quoziente esatto, cioè lo stesso numero, detto numero razionale assoluto.

L'insieme dei numeri razionali assoluti è indicato con $QQ_a$

Poiché frazioni equivalenti rappresentano lo stesso numero razionale possiamo usare il segno di uguaglianza e scrivere $6//7=12//14$ oppure $1//2=2//4$. In generale si ha:

$ a/b = c/d $ se e solo se $ad=bc$

Osserviamo che una frazione:
- con numeratore zero e denominatore diverso da zero è uguale a zero, ad es. $0//4=0$
- avente denominatore zero non ha significato, ad es. $4//0$
- con denominatore $1$ rappresenta il numero naturale dato dal numeratore, ed es. $4//1=4$

Quest'ultima osservazione ci porta alla seguente conclusione.

Conclusione 4.1  
L'insieme dei numeri razionali $QQ_a$ contiene l'insieme §NN§ dei numeri naturali, è cioè un ampliamento di §NN§.

4.1.3   La frazione come operatore

La frazione è spesso usata come operatore (cioè un ente che esegue una o più operazioni) su una determinata grandezza. Ad esempio determinare i $3//4$ di un segmento vuol dire dividerlo in $4$ parti uguali e poi prenderne $3$.

Osservazione 4.1  [La frazione come operatore su grandezze]  
Operando su $AB$ con:
- frazioni equivalenti si ottengono segmenti $CD$ e $EF$ uguali
- una frazione propria (numeratore minore del denominatore) si ottiene un segmento minore di $AB$
- una frazione impropria (numeratore maggiore del denominatore) si ottiene un segmento maggiore di $AB$

Esempio 4.1   Osserva cosa accade cambiando i parametri


Molto importante è inoltre l'utilizzo delle frazioni per confrontare grandezze. Con una frazione infatti si esprime di solito il rapporto tra due grandezze omogenee, cioè il quoziente esatto delle loro misure, espresse ovviamente nella stessa unità di misura.

Esempio 4.2   Prendiamo come grandezze due segmenti $AB$ e $CD$ tali che $AB//CD=2//5$

Se il rapporto tra $AB$ e $CD$ è $2//5$ vuol dire che esiste un sottomultiplo comune ad entrambi i segmenti contenuto $5$ volte esatte in $CD$ e $2$ volte esatte in $AB$. Scegliamo tale segmento come unità di misura $u$. Avremo pertanto

${AB}/{CD} = {2u}/{5u}=2/5 $
Osserviamo che il rapporto tra $AB$ e $CD$ non dipende dalla particolare unità di misura adottata, purché sia la stessa per numeratore e denominatore. Se ad esempio scegliamo come unità di misura un qualunque sottomultiplo $w=u//n$ di $u$ il rapporto tra le misure dei due segmenti è sempre lo stesso, come si può osservare nella seguente simulazione.


Perciò ogni sottomultiplo di $u$ è anche sottomultiplo di entrambi i segmenti $AB$ e $CD$.
Vedremo in seguito che ci sono segmenti il cui rapporto non è espresso da un numero razionale, cioè segmenti che non ammettono un sottomultiplo comune, per quanto piccolo esso si possa prendere. E' il caso dei segmenti incommensurabili.

4.1.4   Frazione ridotta ai minimi termini

Definizione 4.1  [Frazione irriducibile]  
Una frazione è ridotta ai minimi termini o irriducibile se i suoi termini sono primi tra loro.

Esempio 4.3   Per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore, oppure si eseguono divisioni successive fino a rendere i termini della frazione primi fra loro.


4.1.5   Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore

Esempio 4.4   Osserva cosa accade cambiando i parametri


4.1.6   Confronto di frazioni

Per confrontare due frazioni si svolgono le due divisioni e poi si confrontano i numeri decimali trovati.

Esempio 4.5   Qual è la frazione maggiore tra $5//4$ e $7//2$?

$5/4=1.25$ e $7/2=3.5$ quindi $7/2>5/4$


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