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Conservazione del momento angolare per un corpo esteso Previous Up Next

17.2   Conservazione del momento angolare per un corpo esteso

Definizione 17.1  [Momento angolare]  
Il momento angolare è il prodotto della velocità angolare di rotazione per il momento d'inerzia

$L=I omega$

Esempio 17.2   Un cilindro pieno di massa $m=3\, uukg$ e raggio $r=0.2\, uum$ ruota intorno al proprio asse con una velocità angolare $omega= 3\, uurad//uus$. Qual è il suo momento angolare?

Soluzione Il momento d'inerzia vale $I=1/2 m r^2 = 1/2*3*0.2^2=0.06\, uukg uum^2$ e il suo momento angolare

$L=I omega = 0.06*3.5 = 0.18\, uukg uum^2 // uus$

Se il sistema non è isolato il corpo in generale trasla e ruota secondo le leggi del secondo principio della dinamica

$F= m a$     moto di traslazione
$M= I alpha $ moto di rotazione

dove $alpha$ è l'accelerazione angolare ed $M$ il momento applicato.

Abbiamo già visto le equazioni fondamentali della statica che sono valide nel caso di sistema isolato e corpo inizialmente fermo. Abbiamo anche visto che nel caso di sistema isolato dalla prima deriva la conservazione della quantità di moto. Con un ragionamento analogo dalla seconda deriva la conservazione del momento angolare (o momento della quantità di moto).

$M = I alpha = I (Delta omega)/(Delta t) quad => quad M Delta t = I Delta omega$

Se il momento d'inerzia cambia nel tempo o perché cambiano le masse o perché cambia la loro distribuzione rispetto all'asse di rotazione, la precedente può essere riscritta nella forma più generale

$M Delta t = Delta (I omega)$ analoga a $F Delta t = Delta(mv)$

L'impulso del momento delle forze applicate $M Delta t$ è uguale alla variazione del momento angolare $L=I omega$

Se il sistema è isolato allora $M=0$ quindi

$I omega = L = text(cost)$

cioè il momento angolare non cambia quindi il momento d'inerzia $I$ e la velocità angolare $omega$ sono inversamente proporzionali.

Esempio 17.3   Una pattinatrice su ghiaccio inizia una rotazione con le braccia distese ad una velocità angolare di $4\, uurad//uus$. Quando raccoglie le braccia il suo momento d'inerzia si riduce di $1.5$ volte. Qual è la velocità di rotazione finale?

Soluzione Il sistema è isolato quindi il momento angolare si conserva, inoltre $I_2 = I_1 // 1.5$

$I_1 omega_1 = I_2 omega_2 quad => quad omega_2 = omega_1 I_1/I_2 = 4 * 1.5 = 6\, uurad //uus$

Esempio 17.4   Un satellite artificiale di $m_1=600\, uukg$ ruota intorno alla Terra su un'orbita di raggio $r_1=7000\, uukm$ con una velocità angolare $omega_1 = 4.20*10^-4 \, uurad//uus$. Una carica esplosiva espelle un serbatoio di carburante e la massa si riduce a $m_2 = 376\, uukg$. Il satellite si porta su un'orbita maggiore con $r_2 = 8000\, uukm$. Qual è la sua velocità angolare finale $omega_2$?

Soluzione Quella dell'esplosione è una forza interna quindi non influisce sul momento angolare. La forza esterna è l'attrazione della terra, ma anch'essa ha momento nullo perchè diretta lungo il raggio dell'orbita inoltre è sempre perpendicolare allo spostamento quindi non compie lavoro.

$omega_2 = omega_1 I_1/I_2 = omega_1 (m_1*r_1)/(m_2*r_2)= 4.2*10^-4*(600*7000^2)/(376*8000^2)= 5.13*10^-4\, uurad/uus$

Esempio 17.5  [Palla da biliardo 1]  

Esempio 17.6  [Palla da biliardo 2]  

@ Ing. Luciano Pirri
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