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Gli errori nelle misure indirette Previous Up Next

16.6   Gli errori nelle misure indirette

Vediamo ora come le incertezze sui dati influenzano il risultato finale. Nel paragrafo sulla propagazione degli errori vedremo come ricavare le seguenti indicazioni.

Quando le misure vengono effettuate indirettamente, cioè attraverso il calcolo, l'errore (l'incertezza) di ogni misura si propaga al risultato finale. Come abbiamo visto una buona misura non deve avere un errore superiore all'1%. Se la misura ha una precisione paragonabile a questa possiamo stimare l'errore sul risultato applicando 3 semplici regole, evitando procedimenti che spesso sono molto più complicati.

  1. Se la misura è moltiplicata (o divisa) per una costante l'errore relativo non cambia. In altre parole l'errore assoluto è moltiplicato (o diviso) per la costante.

    $G=k ( A\pm e_{a} ) = kA\pm ke_{a}$

  2. Nella somma (o sottrazione) di due misure si sommano gli errori assoluti.

    $G=A\pm B \text{ allora } e_{aG}=e_{aA}+e_{aB}$

  3. Nel prodotto (o divisione) di due misure si sommano gli errori relativi.

    $G=A\times B \text{ allora } e_{rG}=e_{rA}+e_{rB}$
Osservazione 16.3  [La precisione non può che peggiorare]  
Qualsiasi sia l'operazione tra le misure di due grandezze gli errori si sommano sempre.
L'errore più grande prevale sempre su quello più piccolo.

Esempio 16.31  [Regola 1]   Trovare lo spessore medio della pagina di un libro.

Il libro ha $k=100$ pagine ed uno spessore $H=9.0\, uumm$. La misura è stata effettuata con un calibro decimale, quindi l'incertezza assoluta è di $0.1\, uumm$ e le cifre significative sono $2$. La misura può essere scritta in questo modo

$H = 9.0\ uumm pm 0.1\ uumm $

lo spessore medio di una pagina è

$h= H/k = (9.0\ uumm pm 0.1\ uumm)/100 = 0.090\ uumm pm 0.001\ uumm$

Siamo riusciti a misurare lo spessore di un foglio con una precisione del millesimo di millimetro usando un calibro che ha una precisione del decimo di millimetro. Il numero delle cifre significative di $h$ è sempre $2$ cioè lo zero finale e il $9$.


Esempio 16.32  [Regola 2]   Trovare la differenza di temperatura tra l'interno è l'esterno di un appartamento.

Misuriamo la temperatura interna $T_i$ con un termometro a mercurio che ha la sensibilità di $1\ deg uuC$ . Leggiamo la temperatura esterna $T_e$ su un termometro digitale al decimo di grado che si trova in una insegna pubblicitaria sulla strada.

Dobbiamo trovare la differenza di temperatura $\Delta T=T_{i}-T_{e}$.

Leggiamo $T_i = 18\ deg uuC$ e $T_e = 5.7\ deg uuC$ Tenendo conto della sensibilità degli strumenti le misure vanno scritte

$T_i = (18 pm 1) deg uuC $
$T_e = (5.7 pm 0.1) deg uuC $

Prima arrotondiamo la lettura del termometro più preciso a quella di quello meno preciso ed otteniamo $T_e = 6\ deg uuC$, poi calcoliamo la differenza $\Delta T=T_{i}-T_{e}=12\, \unit{C} $. L'incertezza totale è la somma di $(1 + 0.1) deg uuC = 1.1 deg uuC$ che è arrotondata a $1\ deg uuC$. Il risultato della misura è

$Delta T = (12 pm 1) deg uuC $

Se anche per misurare la temperatura esterna avessimo usato il termometro a mercurio avremmo letto $T_e = 6 deg uuC$ ma con una incertezza di $1\ deg uuC$. In definitiva con una maggiore incertezza totale $(1+1)\ deg uuC = 2\ deg uuC$

$Delta T = (12 pm 2) deg uuC $



Esempio 16.33  [Regola 3]   Calcolare l'area di un rettangolo.

Misuriamo i lati con strumenti di diversa sensibilità e troviamo $b=94\,\unit{mm}$ e $h=12.6\,\unit{mm}$. L'area è

$A=b\times h=94\times 12.6= 1184. 4\,\unit{mm}^{2}$

scriviamo il risultato in notazione scientifica $A=1.1844\times 10^{3}$ la misura meno precisa è $b$ con $2$ cifre significative, quindi

$A=1.2\times 10^{3}\,\unit{mm}^{2}$

Non è stato scritto

$A=1200\,\unit{mm}^{2}$

perché i due $0$ potrebbero essere interpretati come significativi.

Nel prodotto (e nella divisione) la scelta del numero di cifre significative non è immediata come nell'addizione (e sottrazione).


Esempio 16.34   Vediamo il caso seguente: $0.92\times 1.13= 1. 0396$ che, secondo quanto detto fino ad ora, dovrebbe essere rappresentato con due cifre significative (quelle di $0.92$), cioè $1.0$. In questo caso però si può dimostrare che la rappresentazione corretta è $1.04$ con $3$ cifre significative.

Nella moltiplicazione (e nella divisione) di due grandezze molto spesso, ma non sempre, il risultato deve avere il numero di cifre significative della misura meno precisa.

Esempio 16.35  [Regola 3]   Volume di una stanza a base quadrata

Il lato è $l= ( 13.2\pm 0.2 )\,uum$ e l'altezza $h= ( 2.8\pm 0.1 )\, uum$ quindi

$V_{m}=l^{2}\times h=13.2^{2}\times 2.8= 487.\, 87\,uum^{3}$

Gli errori relativi dei fattori sono

$e_l = 0.2//13.2 = 1.515\,2*10^-2$
$e_h = 0.1//2.8 = 3.571\,4\ * 10^-2 $

L'errore relativo totale è

$e_{r}=2e_{l}+e_{h}=2\times 1.515\,2\times 10^{-2}+3.571\,4\times 10^{-2}= 6.\, 601\,8\times 10^{-2}$

L'errore assoluto è

$e_{a}=V_{m}\times e_{r}=487. 87\times 5.086\,6\times 10^{-2}= 24. 816\,uum^{3}$

Con due cifre significative (quelle di $h$) si ha $V_{m}=49\times 10^{1}\,uum^{3}$ quindi $e_{a}=2\times 10^{1}\,uum^{3}$. Il volume della stanza è

$V=V_{m}\pm \Delta V= ( 49\pm 2 ) \times 10\,uum^{3}$

Ricalcoliamo i valori secondo la definizione (in questo caso è anche più facile)

$V_{1} =(13.2+0.2)^{2}\times ( 2.8+0.1 ) = 520. 72\,uum^{3}$
$V_{2} =(13.2-0.2)^{2}\times ( 2.8-0.1 ) = 456.3\,uum^{3}$
$V_{m} =(520. 72+456. 3)/2= 488.51=49\times 10^{1}\,uum^{3}$
$\Delta V =(520.72-456.3)/2= 32.21=3\times 10^{1}\,uum^{3} $
$V =V_{m}\pm \Delta V= ( 49\pm 3 ) \times 10\,uum^{3}$

I risultati sono leggermente diversi perché gli errori sui dati sono notevoli, mentre le regole si basano sull'ipotesi di misure abbastanza precise (si trascurano gli infinitesimi di ordine superiore al primo).

Vediamo gli errori percentuali dei dati

$e_{l} =0.2\times 100//13.2= 1.515\,2\% $
$e_{h} =0.1\times 100//2.8= 3.571\,4\% $

Soprattutto l'altezza è stata misurata in modo molto grossolano.


@ Ing. Luciano Pirri
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