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2.5   Risultato di una misura diretta - Errore assoluto, relativo e percentuale

Se effettuiamo una sola misura dobbiamo presupporre di aver compiuto un errore assoluto almeno pari alla sensibilità dello strumento.

La misura è
$ x= ( 41.6\pm 0.1 )\, uucm$
Con il calibro si può avere la
sensibilità di $1/20\,\unit{mm}$

Se si ripete la misura più volte assumiamo come risultato la media aritmetica dei valori ottenuti perché probabilmente è quello più vicino al valore vero che rimane sconosciuto. Supponiamo che due persone, indipendentemente l'una dall'altra, eseguano per dieci volte una misura e calcolino quindi la media aritmetica delle misure fatte. La differenza tra le due medie risulta sempre molto più piccola della differenza tra la misura massima e la misura minima di ciascuno dei due insiemi di misure. Possiamo quindi concludere che la media di più misure fornisce una stima migliore di una singola misura.

L'errore assoluto si calcola come la semidifferenza tra il valore massimo e minimo. $e_{a}=\frac{L_{1}-L_{2}}{2}$ In conclusione il risultato di una misura si scrive:

$L=L_{"letto"} pm "sensibilita'" $   per una sola lettura
$L=L_{"med"} pm \max("sensibilita'" , e_a )$   per più letture

Questo modo di rappresentare il risultato di una misurazione vuole comunicare al lettore che chiunque volesse ripetere la misurazione, con le stesse modalità e nelle stesse condizioni, molto probabilmente otterrebbe un risultato entro l'intervallo indicato.

Esempio 2.26   Supponiamo di aver misurato la lunghezza $L$ diverse volte con una riga con la sensibilità di un millimetro. La media aritmetica delle misure è $L_{\text{med}}=250\,\unit{mm}$ mentre i valori misurati massimi e minimi sono stati $L_{1}=252\unit{mm}$ e $L_{2}=249\unit{mm}$, allora l'errore assoluto è

$e_{a}=\frac{L_{1}-L_{2}}{2}=\frac{252-249}{2}=1.5\,\unit{mm}\text{ arrotondato a }2\,\unit{mm}$

se le misure sono più di 10 l'errore assoluto si può calcolare molto meglio con altri metodi statistici, più complicati, di cui non ci occupiamo.

La misura si scrive

$L$ $ = L_{"med"} pm \max("sensibilita'" , e_a ) $
  $ = 250\ uumm pm \max(1\ uumm , 2\ uumm)$
  $ = 250\ uumm pm 2\ uumm$

Per avere una migliore indicazione sulla precisione del risultato è preferibile calcolare l'errore relativo

$e_{r}=\frac{e_{a}}{L_{\text{med}}}=\frac{2}{250}= 0.008$

Dato che l'errore relativo è di solito molto piccolo spesso si calcola l'errore percentuale

$e_{p}=e_{r}\cdot 100=0.008\cdot 100=0.8\%$

L'errore percentuale consente di confrontare la precisione di misure diverse.

Esempio 2.27   Con una fettuccia con la sensibilità di un centimetro facciamo due misure e vogliamo vedere quale delle due è più precisa.

Soluzione In entrambe le misure l'errore assoluto è di $1\,uucm$.

La prima misura è $L_{1}=2.00\,uum$ e la seconda è $L_{2}=8.00\,uum$. Gli errori percentuali sono

$e_{"p1"} = (1\ uucm)/(200\ uucm) 100 = 0.5 %$
 
$e_{"p2"} = (1\ uucm)/(800\ uucm) 100 = 0.125 %$

La seconda è 4 volte più precisa. In linea di massima se l'errore percentuale non supera l'$1\%$ la misura è fatta ragionevolmente bene, se è maggiore è meglio usare uno strumento più sensibile.


Esempio 2.28   Qual è la lunghezza minima da misurare con una comune riga millimetrata per ottenere il risultato con al massimo l'$1\%$ di errore?

Soluzione La sensibilità, e quindi l'errore assoluto, è di $1\unit{mm}$

$L=\frac{e_{a}}{e_{r}}=\frac{e_{a}}{e_{p}}100=\frac{1\,\unit{mm}}{1}100= 100\,\unit{mm}$

Quindi una comune riga con la sensibilità di $1\,\unit{mm}$ è bene che venga usata per misurare lunghezza maggiori di $10\,uucm$.


Esempio 2.29   Qual è la lunghezza della strada da percorrere in automobile se vogliamo misurarla con la precisione dello $0.02\%$ usando il contachilometri parziale.

Soluzione La sensibilità del contachilometri parziale è di $0.1\,\unit{km}$ quindi

$L=\frac{e_{a}}{e_{r}}=\frac{e_{a}}{e_{p}}100=\frac{0.1\,\unit{km}}{0.02}100= 500\,\unit{km}$

Dobbiamo percorrere più di $500\,\unit{km}$


Esempio 2.30   Vogliamo scegliere la precisione dello strumento da adottare per misurare una distanza di circa $100\,uum$ con un errore massimo dello $0.2\%$.

Soluzione Su $L=100\,uum$ l'errore assoluto, cioè la sensibilità minima dello strumento, è

$e_{a}=\frac{e_{p}}{100}L=\frac{0.2}{100}100= 0.2\,uum$

Il valore è molto alto quindi anche una comune fettuccia centimetrata va benissimo.


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